极限和连续作为数学中的重要概念，它们之间有着密切的联系。当我们在研究函数的连续性时，往往需要同时考虑该函数的极限，进而求出该函数在某一点处的极限值。那么，极限和连续之间的关系到底是什么呢？

首先，我们来回顾一下极限和连续的定义。极限是指当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于某个常数。而连续则是指函数在某一点处的极限存在且与该点函数值相等。从这两个定义可以看出，连续是一种更加严格的极限的情况，要求函数在极限的同时还需要保证函数值与极限相等。

在实际的研究中，当我们要证明一个函数在某一点处连续时，往往需要使用到“极限的性质”。比如，如果该函数在该点的左极限等于该点的右极限，并且等于这个点的函数值，那么该函数就在该点处连续。反之，如果函数在该点的左右极限不相等，或者极限与函数值不相等，那么该函数就不是在该点处连续。因此，极限是连续的前提条件之一。

除此之外，极限还有着连续性的一些应用。常见的有泰勒级数和极限的计算。例如，我们可以通过逐次取近似的方法来计算某些函数的极限值。对于一些复杂的函数，我们可以使用泰勒级数把函数近似成为一组简单的多项式，然后求得该多项式在某个点处的极限，进而精确求得原函数的极限值。

总的来说，极限和连续性是数学中的基础概念，它们之间有着密不可分的联系。在实际应用中，我们需要灵活运用这两个概念，同时考虑它们之间的关系，以便更加深入地理解数学问题，精确求解实际问题。